On dit que \(f=g\) presque partout sur \(I\) si l'ensemble des points \(t\) de \(I\) tels que \(f(t)\neq g(t)\) est un ensemble négligeable
On écrit alors $$f\overset{pp}=g$$ sur \(I\)
On dit que \(f\leqslant g\) presque partout sur \(I\) si l'ensemble des points \(t\) de \(I\) tels que \(f(t)\gt g(t)\) est un ensemble négligeable
On écrit alors $$f\overset{pp}\leqslant g$$ sur \(I\)
On dit que la suite \(f_n,\in{\Bbb N}\) converge presque partout vers \(f\) si l'ensemble des points \(t\) de \(I\) tels que \(f_n(t)\) n'aie pas pour limite \(f(t)\) est négligeable
On écrit alors $$f_n\overset{pp}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} f$$ sur \(I\)
(Fonction - Application, Fonction - Application, Suite convergente, Ensemble négligeable)
$$\left( f\overset{pp}=g\quad\text{ et }\quad {{g\overset{pp}=h}}\right)\implies {{f\overset{pp}=h}}$$
$${{f\overset{pp}=g}}\implies{{\int_If(t)\,dt=\int_Ig(t)\,dt}}$$
$$\left( {{f\overset{pp}\leqslant 0}}\quad\text{ et }\quad{{\int_If(t)\,dt=0}}\right)\implies {{f\overset{pp}=0}}$$
$$\left({{\int_I\lvert f(t)-g(t)\rvert\,dt=0}}\quad\text{ ou }\quad{{\int_I\lvert f(t)-g(t)\rvert^2\,dt=0}}\right)\implies {{f\overset{pp}=g}}$$